Co to jest Prosty Harmoniczny Oscylator

Co to znaczy OSCYLATOR HARMONICZNY PROSTY: układ drgający opisany ogólnym równaniem różniczkowym: albo (*) gdzie: - periodyczna funkcja czasu, która jest rozwiązaniem równania, ω - częstotliwość kołowa (kątowa) albo pulsacja, T - moment drgania, f - częstotliwość. Rozwiązaniami równania (*) mogą być następujące funkcje czasu: x = Acos(ωt + φ) albo x = Bsin(ωt + φ) i ich kombinacje liniowe. Wielkości A i B są amplitudami drgania, ωt -fazą drgania, a φ - fazą początkową. Rozwiązanie można także przedstawić w formie wykładniczej, z racji na tożsamość: x = Aei(ωt + φ) = A[cos(ωt + φ) + isin)ωt + φ)] (**) gdzie - jednostka urojona. Rozwiązanie w formie wykładniczej funkcji zespolonej (**), zawierające jednostkę urojoną nie ma sensu fizycznego. Sedno fizyczny mają wzięte oddzielnie: część rzeczywista x1 = Acos(ωt + φ) - lub część urojona - x2 = Asin(ωt + φ) funkcji zespolonej (**). Wykładnicza postać rozwiązania ułatwia przekształcenia matematyczne, upraszczając zwłaszcza operacje różniczkowania i całkowania. Dlatego jest ona regularnie stosowana do obliczeń. Równanie (*) opisuje drgania różnych układów fizycznych, co znaczy, iż funkcja może przedstawiać drgania różnych wielkości fizycznych. W mechanice równanie (*) opisuje, pomiędzy innymi, drganie ciężarka o masie m zawieszonego na sprężynie i małe drgania wahadeł: fizycznego i matematycznego. - OSCYLATOR MECHANICZNY - Fundamentalną cechą mechanicznego oscylatora harmonicznego jest prosta proporcjonalność przyśpieszenia ciała drgającego albo siły działającej na to ciało do wielkości chwilowego wychylenia od położenia równowagi: Oscylator spężynowy mechaniczny albo Porównując ostatnie równanie z równaniem (*) można napisać rozwiązania w formie: x = Acos(ωt + φ) albo x1 = Asin(ωt + φ) Różniczkując powyższe wyrażenia otrzymuje się wzory opisujące zależności tymczasowe prędkości: albo i przyśpieszenia: albo i wzory na moment i częstotliwość: Zależność wychylenia, prędkości i przyśpieszenia od czasu Rzut punktu materialnego poruszającego się ruchem jednostajnym po okręgu na jedną ze średnic tego okręgu wykonuje łatwe drgania harmoniczne. Jeżeli środek okręgu umieścić w początku prostokątnego układu odniesienia, to rzuty końca wektora A na osie x i y poruszają się ruchem harmonicznym. Równania ruchu są następujące: x = Acosα = Acosωt y = Asinα = Asinωt szybkość: vx = -Aωsinωt vy = -Aωcosωt przyśpieszenie: ax = -Aω2cosωt ay = -Aω2sinωt Pkt. materialny poruszający się po okręgu ruchem jednostajnym - ENERGIA MECHANICZNEGO OSCYLATORA HARMONICZNEGO - Całkowita energia oscylatora o masie m i współczynniku sprężystości k jest sumą energii potencjalnej i energii kinetycznej E = EK + EP Jeżeli zależność wychylenia od czasu przedstawić w formie (przyjmując φ =0): x=Acosωt to chwilowa szybkość wyrazi się wzorem: Energia kinetyczna jest funkcją czasu i wynosi: albo Korzystając z zależności: można napisać: Zestawiając otrzymane równania można przedstawić zależności energii od czasu i od wielkości wychylenia: Wyrażenie na energię potencjalną oscylatora można także dostać z ogólnej zależności między zachowawczą siłą a energią potencjalną: Przyjmując Ep = 0 dla x = 0, otrzymuje się wartość stałej całkowania const = 0. W ten sposób Zależności energii: EP, EK i E od czasu i od wychylenia Oscylatorami harmonicznymi prostymi są: - WAHADŁO FIZYCZNE GRAWITACYJNE - figura sztywna zawieszona ponad swego środka ciężkości. Obrót wahadła wokół osi O opisuje II prawo dynamiki Newtona: M = Iε Wartość momentu siły ciężkości: M = mgdsinα Porównując prawe strony i mnożąc poprzez d otrzymuje się wyrażenie: -mgdx = Iat gdzie at - przyśpieszenie styczne środka ciężkości S: dla małych kątów, równanie ruchu ma postać równania oscylatora harmonicznego: częstotliwość kołowa wahań: moment wahań: Iloczyn nazywa się momentem prowadzącym wahadła. - WAHADŁO ?atwe (MATEMATYCZNE) - pkt. materialny zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici - jest specjalnym przypadkiem wahadła fizycznego. Jeżeli do wzoru na moment drgań wahadła fizycznego podstawić wyrażenie na okres bezwładności, , to otrzymuje się wzór na moment wahań wahadła matematycznego dla małych wychyleń: równanie ruchu wahadła: Jeżeli do wzoru na moment drgań wahadła fizycznego podstawić to otrzymuje się wzór na moment wahań taki sam jak dla wahadła matematycznego: Rozmiar nazywa się długością zredukowaną wahadła fizycznego. - ELEKTRYCZNY OBWÓD DRGAJĄCY LC - Zakładając całkowity brak strat energii można uważać, iż w każdej chwili suma energii pola elektrycznego EE w kondensatorze i energii pola magnetycznego w zwojnicy EM jest wielkością stałą: EE + EM = const gdzie: Q - ładunek elektryczny; - chwilowe natężenie prądu elektrycznego w obwodzie. Różniczkując względem czasu i upraszczając, można dostać równania oscylatora harmonicznego opisujące drgania: ładunku elektrycznego, natężenia prądu i napięcia na końcach cewki albo na okładkach kondensatora